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標題: Liapunov-Schmidt Reduction and Continuation for Reaction-Diffusion Systems
立波諾夫化簡與延續法處理反應-擴散問題
作者: 簡澄陞
施因澤
關鍵字: 數學類
Schrodinger eigenvalue problem
基礎研究
Schrodinger-Poisson eigenvalue problem
periodic boundary conditions
two-grid schemes
finite element methods
finite differences
Liapunov-Schmidt reduction
coupled nonlinear Schrodinger equations,
薛丁格特徵值問題
薛丁格–波松特徵值問題
週期邊界條件
雙重網格法
有限元素法
有限差分法
立波諾夫–舒密特化簡
雙重網格法
延續法
非線性的薛丁格方程組
吉義核–曼哈特系統
格雷–史考特系統
羅特加–伏德拉系統
分支
摘要: 我們提出一個三年的研究計畫,將內容分為兩部分,第一部分處理定義在正方形區域,具週期邊界條件的二階線性橢圓特徵值問題。第二部分處理非線性的薛丁格方程組,並將研究範圍擴展到其他的反應–擴散問題。在第一部分裡,我們先研究與此特徵值問題相對應的變分問題。我們使用泛函分析的技巧證明此問題有無限多個特徵對偶。接著在有限元素子空間的架構下,我們證明相對應的變分特徵值問題存在著有限多個特徵對偶,其特徵向量為此有限維子空間的正交基底。然後我們提出一個雙重網格有限元素的算則,用以計算薛丁格特徵值問題與薛丁格–波松特徵值問題的前幾個最小特徵對偶。在使用六點三角元素逼近時,我們能得到的收斂速率。在此部分我們已完成使用有限差分離散特徵值問題的計算工作。 4()Oh在本計畫的第二部分,我們將使用立波諾夫–舒密特化簡研究非線性的薛丁格方程組正解的性質,主要著重解分支的特性。其次以數值方法諸如雙重網格法與延續法探討其數值解。我們將用同樣的技巧研究其他的反應–擴散問題,諸如吉義核–曼哈特方程組,羅特加–伏德拉系統等。立波諾夫–舒密特化簡的功用在於把一個(或一組)偏微分方程化簡為有限維的問題,再由此有限維的問題來研究PDE解的性質,在PDE的領域裡廣被應用。我們用此方法來探討上述反應–擴散問題解分支的特性。使用此法,我們可以瞭解反應–擴散問題的解在分支點上的局部行為。反應–擴散問題一般皆具有很多的參數,由於解分支的形狀會隨著參數的改變而產生變化,我們將以延續法與雙重網格法與中央差分法為主要架構,來探討反應–擴散問題的數值解,並用以驗證立波諾夫–舒密特化簡所得到的結果。 表 C011 共 4 頁 第 1 頁目前我們已利用立波諾夫–舒密特法得到M個非線性薛丁格方程之解分支的一些性質。我們證明此方程組的分支如叉子形狀,而且解分支可向右彎或向左彎,完全由方程組三次項的係數矩陣所決定。其次,我們已用數值延續法驗證理論分析的正確性。我們的數值結果顯示出:當解分支向右彎時,則高峰解出現在正方形區域的四個角落;當解分支向左彎時,則高峰解出現在正方形區域的中央。後者的形狀與物理的實驗結果(見[1, 2])看來是一樣的。
URI: http://hdl.handle.net/11455/49736
其他識別: NSC95-2115-M231-001-MY3
文章連結: http://grbsearch.stpi.narl.org.tw/GRB/result.jsp?id=1276656&plan_no=NSC95-2115-M231-001-MY3&plan_year=95&projkey=PA9508-0802&target=plan&highStr=*&check=0&pnchDesc=%E7%AB%8B%E6%B3%A2%E8%AB%BE%E5%A4%AB%E5%8C%96%E7%B0%A1%E8%88%87%E5%BB%B6%E7%BA%8C%E6%B3%95%E8%99%95%E7%90%86%E5%8F%8D%E6%87%89-%E6%93%B4%E6%95%A3%E5%95%8F%E9%A1%8C
顯示於類別:應用數學系所

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